题目内容
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+（m+1）x+3m与直线y=-x+3交于A、C两点；点P从原点O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC向终点C运动，过P作x轴的垂线，交抛物线于D，交AC于
E，设点P运动的时间为x（秒），四边形AOCD的面积为S．
（1）求点A、C的坐标，并求此抛物线的解析式；
（2）求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）探究：是否存在点P，使直线AC把△PCD分成面积之比为2：1的两部分？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）根据一次函数的解析式y=-x+3分别令x=0，则y=3；令y=0则x=3，
故A（0，3），C（3，0），
把A（0，3）代入抛物线的解析式
得3m=3，m=1，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）∵m=1
∴y=-x2+2x+3，
∴AO=3，
点D（x，-x2+2x+3），连接OD，
∵OC=3，
∴S=S△AOD+S△DOC=
×3x+×（-x2+2x+3）=-
x2+
x+，∴S与x的函数关系式S=-
x2+x+（0＜x＜3），当x=-
=符合（0＜x＜3），S最大值=
=
=
，（3）∵OA=OC=3，
∴△AOC为等腰Rt△，
∴∠ECP=45°，
∴EP=PC=3-x，
假设存在点P，使AC把△PCD分成面积之比为2：1的两部分，分两种情况讨论：
（ⅰ）当△CDE与△CEP的面积之比为2：1时，DE=2EP，
∴DP=3EP，
即-x2+2x+3=3（-x+3）
整理得：x2-5x+6=0，
解得；x1=2x2=3（不合题意，舍去），
此时点P的坐标是（2，0）；
（ⅱ）当△CEP与△CDE的面积之比为2：1时，DE=
EP，∴DP=
EP，即-x2+2x+3=
（-x+3），整理得：2x2-7x+3=0，
解得：x3=
，x4=3（不合题意，舍去），此时点P的坐标是（
，0），综上所述，使直线AC把△PCD分成面积之比为2：1两部分的点P存在，点P的坐标是（2，0）或（
，0）．分析：（1）根据一次函数的解析式y=-x+3分别令x=0，y=0即可求出A，B的坐标．把A或B点的坐标代入抛物线的解析式即可求出m的值，从而求出其解析式．
（2）根据（1）中所求抛物线的解析式设出D点坐标，由A，C，D三点的坐标即可求出S关于x的函数关系式，根据二次函数的顶点坐标公式即可求出S的最大值．
（3）因为不明确△CDE与△CPE面积的大小，故应分两种情况讨论：
①当△CDE与△CEP的面积之比为2：1时，因为两三角形的高相同，所以DE：EP=2：1，即DP=3EP，设P点坐标为（x，0），则D点坐标为（x，-x2+2x+3），由于OA=OB，所以PC=EP，根据P，D两点的坐标即可求出DP与EP的函数关系式，进而求出P点坐标．
②当△CEP与△CDE的面积之比为2：1时，则DE=2EP，同①可求出DP与EP的函数关系式，进而求出P点坐标．
点评：此题是典型的动点问题，把面积的最值问题问题转化成二次函数最值的问题解答．
（3）是一道结论开放性题目，考查了同学们的发散思维能力，解答时要进行分类讨论．
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