Question

在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是高，已知Rt△ABC的三边长都是整数，且BD=11³，则Rt△BCD与Rt△ACD的周长之比是

 

．

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：

分析：根据题意易证△BCD∽△BAC，利用相似三角形的性质及勾股定理列式，解方程组即可解答．

解答：解：如图，设BC=a，CA=b，AB=c，
∵Rt△BCD∽Rt△BAC，
∴

BC

BA

=

BD

BC

，即BC²=BD•BA，
∴a²=11³c．
因a²为完全平方数，且11是质数，
∴c为11的倍数，令c=11k²（k为正整数），则a=11²k，
于是由勾股定理得b=

c2-a2

=11k

k2-112

，又因为b为整数，
∴k²-11²是完全平方数，令k²-11²=m²，则（k+m）（k-m）=11²，
∵（k+m）＞（k-m）＞0且11为质数，
∴

k+m=112 k-m=1

，解得

k=61 m=60

，于是a=11²×61，b=11×61×60，
又∵Rt△BCD∽Rt△CAD，
∴它们周长的比等于它们的相似比．
即

a

b

=

112×61

11×61×60

=

11

60

，
故答案为：

11

60

．

点评：本题考查了三角形的边角关系．解答此题是要根据题意列出方程，把解三角形转化成解方程的形式解答．