Question

已知：如图1，直线y=

1

3

x与双曲线y=

k

x

交于A，B两点，且点A的坐标为（6，m）．
（1）求双曲线y=

k

x

的解析式；
（2）点C（n，4）在双曲线y=

k

x

上，求△AOC的面积；
（3）过原点O作另一条直线l与双曲线y=

k

x

交于P，Q两点，且点P在第一象限．若由点A，P，B，Q为顶点组成的四边形的面积为20，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）首先利用正比例函数解析式计算出A点坐标，再把A点坐标代入反比例函数y=

k

x

，可得反比例函数解析式；
（2）分别过点C，A作CD⊥x轴，AE⊥x轴，再利用反比例函数解析式计算出点C的坐标，根据反比例函数解析式计算出S_△CDO=S_△AEO=

1

2

|k|，再用S_△AOC=S_{四边形COEA}-S_△AOE=S_{四边形COEA}-S_△COD=S_梯形CDEA，即可算出答案；
（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即为5．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后参照（2）的三角形面积的求法表示出△POA的面积，由于△POA的面积为5，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．

解答：解：（1）∵点A（6，m）在直线y=

1

3

x上，
∴m=

1

3

×6=2，
∴A（6，2），
∵点A（6，2）在双曲线y=

k

x

上，
∴2=

k

6

，
解得：k=12．
故双曲线的解析式为y=

12

x

；

（2）分别过点C，A作CD⊥x轴，AE⊥x轴，
垂足分别为点D，E．（如图1）
∵点C（n，4）在双曲线y=

12

x

上，
∴4=

12

n

，
解得：n=3，
即点C的坐标为（3，4），
∵点A，C都在双曲线y=

12

x

上，
∴S△AOE=S△COD=

1

2

×12=6．
∴S_△AOC=S_{四边形COEA}-S_△AOE=S_{四边形COEA}-S_△COD=S_梯形CDEA，
∴S_△AOC=

1

2

(CD+AE)•DE=

1

2

×(4+2)×(6-3)=9；

（3））∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四边形APBQ是平行四边形，
∴S_△POA=

1

4

S_{平行四边形APBQ}=

1

4

×20=5，
设点P的横坐标为m（m＞0且m≠6），
得P（m，

12

m

），
过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
∴S_△POE=S_△AOF=6，
若0＜m＜6，如图，
∵S_△POE+S_梯形PEFA=S_△POA+S_△AOF，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=5．
∴

1

2

（2+

12

m

）•（6-m）=5．
∴m=4，m=-9（舍去），
∴P（4，3）；
若m＞6，如图，
∵S_△AOF+S_梯形AFEP=S_△AOP+S_△POE，
∴S_梯形PEFA=S_△POA=5．
∴

1

2

（2+

12

m

）•（m-6）=5，
解得m=9，m=-5（舍去），
∴P（9，

4

3

）．
故点P的坐标是：P（4，3）或P(9，

4

3

)．

点评：本题考查了反比例解析式的确定和性质、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．难点是不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差来求解．