Question

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，∠C=90°，CD和BE是△ABC的两条中线，且CD⊥BE，那么a：b：c=（　　）

• A、1：2：3
• B、3：2：1
• C、

  3

  ：

  2

  ：1
• D、1：

  2

  ：

  3

Answer 1

分析：可以用建立直角坐标系来做．以三角形BC所在的边为x轴，以AC所在的边为y轴，C点为原点建立直角坐标系．可得，C（0，0），B（a，0），A（0，b）因为，CD和BE为中线，所以D，E为中点，易得，D（

a

2

，

b

2

），E（0，

b

2

）．因为CD与BE垂直，所以CD与BE所在直线的斜率的乘积为负1，所以可得答案．

解答：解：可以用建立直角坐标系来做．以三角形BC所在的边为x轴，以AC所在的边为y轴，C点为原点建立直角坐标系．
可得，C（0，0），B（a，0），A（0，b）．
∵CD和BE为中线，
∴D，E为中点，则D（

a

2

，

b

2

），E（0，

b

2

）．
则直线BE的斜率是：

- b 2

a

=-

b

2a

；
直线CD的斜率是：

b 2

a 2

=

b

a

．
∵CD与BE垂直，所以CD与BE所在直线的斜率的乘积为-1，即-

b

2a

•

b

a

=-1．
∴b²=2a²．
∴a：b=1：

2

．
又∵a²+b²=c²．
∴a：b：c=1：

2

：

3

．
故选D．

点评：本题考查了两条直线垂直的条件，关键是正确建立坐标系，把三角形的问题转化为一次函数的问题．