Question

【题目】装潢公司要给边长为6米的正方形墙面ABCD进行装潢，设计图案如图所示（四周是四个全等的矩形，用材料甲进行装潢；中心区是正方形MNPQ，用材料乙进行装潢）．

两种装潢材料的成本如下表：

材料	甲	乙
价格（元/米2）	50	40

设矩形的较短边AH的长为x米，装潢材料的总费用为y元．

（1）MQ的长为　 　米（用含x的代数式表示）；

（2）求y关于x的函数解析式；

（3）当中心区的边长不小于2米时，预备资金1760元购买材料一定够用吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（6﹣2x）；（2）y＝﹣40x2+240x+1440；（3）预备资金1760元购买材料一定够用，理由见解析

【解析】

（1）根据大正方形的边长减去两个小长方形的宽即可求解；
（2）根据总费用等于两种材料的费用之和即可求解；
（3）利用二次函数的性质和最值解答即可．

解：（1）∵AH=GQ=x，AD=6，
∴MQ=6-2x；
故答案为：6-2x；

（2）根据题意，得AH＝x，AE＝6﹣x， S甲＝4S长方形AENH＝4x（6﹣x）＝24x﹣4x2，

S乙＝S正方形MNQP＝（6﹣2x）2＝36﹣24x+4x2．

∴ y＝50（24x﹣4x2）+40（36﹣24x+4x2）＝﹣40x2+240x+1440．

答：y关于x的函数解析式为y＝﹣40x2+240x+1440．

（3）预备资金1760元购买材料一定够用．理由如下：

∵y＝﹣40x2+240x+1440＝﹣40（x－3）2+1800，

由﹣40＜0，可知抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．

由x－3=0可知，抛物线的对称轴为直线x=3．

∴ 当x＜3时，y随x的增大而增大．

∵ 中心区的边长不小于2米，即6﹣2x≥2，解得x≤2，又x＞0，∴0＜x≤2．

当x=2时，y＝﹣40（x－3）2+1800=﹣40（2－3）2+1800=1760，

∴ 当0＜x≤2时，y≤1760．

∴ 预备资金1760元购买材料一定够用．

答：预备资金1760元购买材料一定够用．