Question

1．已知抛物线y=ax²-2ax+m与x轴交于A（-1，0）、B（x₂，0）两点，与y轴正半轴交于点C，且满足S_△ABC=4．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点O的直线交BC于D，且OD刚好平分△ABC的面积，求点D的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠PCA+∠ABC=180°？若存在，请你求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）的坐标代入y=ax²-2ax+m，得a+2a+m=0，可得m=-3a，所以抛物线的解析式为y=ax²-2ax-3a，令y=0，ax²-2ax+-3a=0，解得x=-1或3，推出B（3，0），AB=4，根据S_△ABC=4，可得OC=2，即可求出a的值解决问题．
（2）如图1中，连接AC，设D（m，n）．由题意S_△BOD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，可得$\frac{1}{2}$×3×n=2，推出n=$\frac{4}{3}$，求出直线BC的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2，即可求出点D坐标．
（3）如图2中，连接AC，延长PC交x轴于E，设E（m，0）．由△ECA∽△EBC，得到EC²=EA•EB，可得方程m²+4=（-1-m）（3-m），求出点E坐标，再求出直线PC的解析式，利用方程组求交点坐标即可．

解答 解：（1）把A（-1，0）的坐标代入y=ax²-2ax+m，得a+2a+m=0，
∴m=-3a，
∴抛物线的解析式为y=ax²-2ax-3a，令y=0，ax²-2ax+-3a=0，解得x=-1或3，
∴B（3，0），AB=4，
∵S_△ABC=4，
∴$\frac{1}{2}$×4×OC=4，
∴OC=2，
∴-3a=2，
∴a=-$\frac{2}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2．

（2）如图1中，连接AC，设D（m，n）．

由题意S_△BOD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×3×n=2，
∴n=$\frac{4}{3}$，
∵B（3，0），C（0，2），
设直线BC的解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2，
当y=$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$=-$\frac{2}{3}$x+2，
∴x=1，
∴D（1，$\frac{4}{3}$）．

（3）如图2中，连接AC，延长PC交x轴于E，设E（m，0）．

∵∠PCA+∠ABC=180°，∠PCA+∠ECA=180°，
∴∠ECA=∠EBC，∵∠CEA=∠CEB，
∴△ECA∽△EBC，
∴EC²=EA•EB，
∴m²+4=（-1-m）（3-m），
∴m=-$\frac{7}{2}$，
∴E（-$\frac{7}{2}$，0），
∴直线PC的解析式为y=$\frac{4}{7}$x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{7}x+2}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{7}{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{7}}\\{y=\frac{130}{49}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．