Question

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=6，点C的坐标为（-9，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=2，OD=2BD，求直线DE的解析式；
（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，是否存在点P，使以O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）过点B作BF⊥x轴于F，在Rt△BCF中，已知∠BCO=45°，BC=6，解直角三角形求CF，BF，确定B点坐标；
（2）过点D作DG⊥y轴于点G，由平行线的性质得出△ODG∽△OBA，利用相似比求DG，OG，确定D点坐标，由已知得E点坐标，利用“两点法”求直线DE的解析式；
（3）存在．由已知的OE=2，分别以O、E为圆心，2为半径画弧，与直线DE相交，或作线段OE的垂直平分线与直线DE相交，交点即为所求．
解答：解：（1）过点B作BF⊥x轴于F，…（1分）
在Rt△BCF中，
∵∠BCO=45°，BC=6，
∴CF=BF=6，…（1分）
∵C 的坐标为（-9，0），
∴AB=OF=3，
∴点B的坐标为（-3，6）；…（1分）

（2）过点D作DG⊥y轴于点G，…（1分）
∵AB∥DG，
∴△ODG∽△OBA，
∵===，AB=3，OA=6，
∴DG=2，OG=4，…（1分）
∴D（-2，4），E（0，2），
设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0）
∴，
∴，…（1分）
∴直线DE解析式为y=-x+2； …（1分）

（3）OP₁=OE，△EOP₁为等腰三角形，P₁（2，0）
P₂E=P₂O，△OP₂E为等腰三角形，P₂（1，1）
EO=EP₃，△OEP₃为等腰三角形，P₃（，2- ）
EO=EP₄，△OEP₄为等腰三角形，P₄（-，2+ ）
P₃，P₄在直线DE上，P₃在E点右下侧，P₄在E点左上侧．
存在P₁（2，0）、P₂（1，1）、P₃（，2-）、P₄（-，2+）…（3分）
（写对一个点得1分，写对两个点或三个点得2分）
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是通过作辅助线，解直角三角形，证明三角形相似，确定相关线段的长和点的坐标，得出直线解析式，再根据等腰三角形的性质，分类求P点坐标．