Question

ABCD为圆内接凸四边形，取△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的内心O₁，O₂，O₃，O₄．求证：O₁O₂O₃O₄为矩形．

Answer 1

分析：先由O₁，O₂，O₃，O₄分别为△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的内心得出各角之间的关系，确定出A、B、O₂、O₁四点共圆，由四点共圆的性质即可得出四边形O₁O₂O₃O₄各角均为90°，从而问题得证．

解答：证明：∵O₁，O₂，O₃，O₄分别为△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的内心，
∴∠AO₁B=90°+∠ADB，∠AO₂B=90°+∠ACB，
∴∠ADB=∠ACB，∠AO₁B=∠AO₂B，
∴A、B、O₂、O₁四点共圆，则∠AO₁O₂=180°-∠ABO₂=180°-∠ABC，
同理有：∠AO₁O₄=180°-∠ADC，
∴∠AO₁O₂+∠AO₁O₄=360°-（∠ABC+∠ADC）=270°，
∴∠O₂O₁O₄=90°，
同理：∠O₁O₂O₃=90°，∠O₂O₃O₄=90°．
∴四边形O₁O₂O₃O₄是矩形．

点评：本题考查的是三角形内心的性质及四点共圆的判定与性质、矩形的判定定理，涉及面较广，难度较大．