Question

设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB•CD+AD•BC=AC•BD．（初三）

Answer 1

分析：在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，即得△BEC∽△ADC，于是可得AD•BC=BE•AC，又∵∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得

AB

AC

=

DE

DC

，即AB•CD=DE•AC，两式结合即可得到AB•CD+AD•BC=AC•BD．

解答：证明：在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，即得△BEC∽△ADC，
可得：

BE

BC

=

AD

AC

，即AD•BC=BE•AC，①
又∵∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，
即得

AB

AC

=

DE

DC

，即AB•CD=DE•AC，②
由①+②可得：AB•CD+AD•BC=AC（BE+DE）=AC•BD，得证．

点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质和圆周角的知识点，解答本题的关键是在BD上取一点E，使∠BCE=∠ACD，此题难度一般．