Question

如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形；

(2)设AD＝x，建立关于x的方程模型，求出x的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵AD⊥BC于D 　　∴∠ADB＝∠ADC＝90° 　　∵△AEB与△ADB关于AB对称 　　∴AE＝AD，∠E＝∠ADB＝90°，∠EAB＝∠DAB 　　∵△AFC与△ADC关于AC对称 　　∴AF＝AD，∠F＝∠ADC＝90°，∠FAC＝∠DAC　2分 　　∴∠EAB＋∠FAC＝∠DAB＋∠DAC＝∠BAC＝45°，AE＝AF 　　∴∠EAF＝90° 　　∴∠EAF＝∠E＝∠F＝90° 　　∴四边形AEGF是矩形　4分 　　又∵AE＝AF 　　∴四边形AEGF是正方形　5分 　　(2)解：∵四边形AEGF是正方形 　　∴EG＝FG＝AE＝AD＝x，∠G＝90° 　　由轴对称性质得：EB＝BD＝2，，CF＝CD＝3 　　∴BG＝x－2，CG＝x－3，BC＝5　6分 　　Rt△BGC中，BG2＋CG2＝BC2 　　∴(x－2)2＋(x－3)2＝52　8分 　　x2－5x－6＝0 　　x1＝6，x2＝－1(不合题意，舍去) 　　∴x＝6　10分