Question

如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．

（1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）若AB=17，AD=9，求AE的长．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

【分析】（1）求出CE=CF，∠F=∠CEB=90°，根据HL证出两三角形全等即可．

（2）求出DF=BE，证Rt△AFC≌Rt△AEC，推出AF=AE，设DF=BE=x，得出方程17﹣x=9+x，求出x，即可求出答案．

【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，

在Rt△BCE与Rt△DCF中，，

∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；

（2）解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，

∴DF=BE，

∵∠F=∠CEA=90°，

∴在Rt△AFC和Rt△AEC中

∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），

∴AF=AE，

设DF=BE=x

∵AB=17，AD=9，

∴17﹣x=9+x

解得：x=4

∴AE=17﹣4=13．

【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL．