Question

正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点。
（1）如图①，若点E在弧AB上，F是DE上的一点，DF=BE。求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系： DE-BE=AE。请你说明理由；
（3）如图②，若点E在弧AD上。写出线段DE、BE、AE之间的等量关系。（不必证明）

Answer 1

（1）在正方形ABCD中，AB=AD
∵DF=BE，∠1=∠2， 
∴△ADF≌△ABE.
（2）由（1）有△ADF≌△ABE，
∴AF=AE，∠3=∠4.
在正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BAF+∠3=90°
∴∠BAF+∠4=90°
∴∠EAF=90°.
∴△EAF是等腰直角三角形.
∴EF²=AE²+AF².
∴EF²=2AE². 
∴EF= AE.
即DE-DF= AE.
∴DE-BE= AE.
（3）BE-DE= AE.