Question

如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l₁、l₂、l₃、l₄上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h₁、h₂、h₃（h₁＞0，h₂＞0，h₃＞0）．
（1）求证：h₁=h₃； 
（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S=（h₂+h₁）²+h₁²；
（3）若

3

2

h1+h2=1，当h₁变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h₁的变化情况．

Answer 1

分析：（1）过A点作AF⊥l₃分别交l₂、l₃于点E、F，过C点作CH⊥l₂分别交l₂、l₃于点H、G，根据正方形的性质和平行线的性质，证△ABE≌△CDG即可；
（2）易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且两直角边长分别为h₁、h₁+h₂，四边形EFGH是边长为h₂的正方形，所以
S=4×

1

2

h1(h1+h2)+h22=2h12+2h1h2+h22=(h1+h 2)2+h12．
（3）根据题意用h₂关于h₁的表达式代入S，即可求出h₁取何范围是S的变化．

解答：（1）证明：过A点作AF⊥l₃分别交l₂、l₃于点E、F，过C点作CH⊥l₂分别交l₂、l₃于点H、G，
∵四边形ABCD是正方形，l₁∥l₂∥l₃∥l₄，
∴AB=CD，∠ABE+∠HBC=90°，
∵CH⊥l₂，
∴∠BCH+∠HBC=90°，
∴∠BCH=∠ABE，
∵∠BCH=∠CDG，
∴∠ABE=∠CDG，
∵∠AEB=∠CGD=90°，
在△ABE和△CDG中，

∠ABE=∠CDG ∠AEB=∠CGD AB=CD

，
∴△ABE≌△CDG（AAS），
∴AE=CG，
即h₁=h₃，

（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∵∠AEB=∠DFA=∠BHC=∠CGD=90°，∠ABE=∠FAD=∠BCH=∠CDG，
∴△AEB≌△DAF≌△BCH≌△CGD，且两直角边长分别为h₁、h₁+h₂，
∴四边形EFGH是边长为h₂的正方形，
∴S=4×

1

2

h1(h1+h2)+h22=2h12+2h1h2+h22=(h1+h 2)2+h12，

（3）解：由题意，得h2=1-

3

2

h1，
所以

S=(h1+1- 3 2 h1)2+h12= 5 4 h12-h1+1 = 5 4 (h1- 2 5 )2+ 4 5

，
又

h1＞0 1- 3 2 h1＞0

，
解得0＜h₁＜

2

3

，
∴当0＜h₁＜

2

5

时，S随h₁的增大而减小；
当h₁=

2

5

时，S取得最小值

4

5

；当

2

5

＜h₁＜

2

3

时，S随h₁的增大而增大．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、直角三角形的性质，本题的关键在于作好辅助线，根据已知找到全等三角形即可