Question

【题目】如图，在中，点是的中点．以为直径作分别交，于点，，与相切于点．

（1）求证：；

（2）若，时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AM=BM，进而得∠A=∠ABM，再根据圆内接四边形的性质得∠MDE=∠ABM，进而得∠A=∠MDE，据此可得答案.

(2)连接BD，由三角形面积求出BD，进而由勾股定理求得AD，再由△MDE∽△MAB求得DE.

解：(1)证明：∵BC与相切于点B，∴∠ABC=90°，

∵点M是AC的中点，∴BM=AM=CM，

∴∠MAB=∠MBA，

∵四边形ABED是的内接四边形，

∴∠ADE+∠ABE=180°，

∵∠MDE+∠ADE=180°，

∴∠MDE=∠ABE，

∴∠MDE=∠MAB.

∴DE∥AB.

(2)连接BD，如下图所示：

∵AB=6，BC=8，∠ABC=90°，

∴由勾股定理求得AC=10，

∵AB是的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB×BC=AC×BD

∴,

∴，

∴DM=AM-AD=5-3.6=1.4，

∵DE∥AB，

∴△MDE∽△MAB，

∴，代入数据：

解得.

故答案为：.