Question

如图，AB是⊙0的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙0于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．
（1）求证：点E是的中点；
（2）求证：CD是⊙0的切线．

Answer 1

证明：（1）连接OD，
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB，∠ADO=∠DOC，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ADO，
∴∠DOC=∠COB（圆心角、弧、弦之间的关系），
∴点E是的中点；

（2）∵在△DOC和△BOC中
，
∴△DOC≌△BOC（SAS），
∴∠CDO=∠CBO，
∵BC⊥AB，
∴∠CBA=90°，
∴∠ODC=90°，
∵OD是半径，
∴CD是⊙0的切线．
分析：（1）连接OD，根据平行线性质求出∠A=∠COB，∠ADO=∠DOC，得出∠A=∠ADO，推出∠DOC=∠COB即可；
（2）证△DOC≌△BOC，推出∠CDO=∠CBO=90°，根据切线的判定推出即可．
点评：本题考查了等腰三角形性质，平行线性质，切线的判定，圆周角、弧、弦之间的关系的应用，关键是推出∠DOC=∠BOC和∠ODC=∠OBC=90°，通过做此题培养了学生的推理能力．