Question

如图，Rt△ABC的两直角边AC边长为4，BC边长为3，它的内切圆为⊙0，⊙0与边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，延长C0交斜边AB于点G．
（1）求⊙0的半径长；
（2）求线段DG的长．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求AB，设⊙O的半径为r，则r=

1

2

（AC+BC-AB）求解；
（2）过G作GP⊥AC，垂足为P，根据CG平分直角∠ACB可知△PCG为等腰直角三角形，设PG=PC=x，则CG=

2

x，由（1）可知CO=

2

r=

2

，由Rt△AGP∽Rt△ABC，利用相似比求x，由OG=CG-CO求OG，在Rt△ODG中，由勾股定理求DG．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=

AC2+BC2

=5，
∴⊙O的半径r=

1

2

（AC+BC-AB）=

1

2

（4+3-5）=1；

（2）过G作GP⊥AC，垂足为P，设GP=x，
由∠ACB=90°，CG平分∠ACB，得∠GCP=45°，
∴GP=PC=x，
∵Rt△AGP∽Rt△ABC，
∴

x

3

=

4-x

4

，
解得x=

12

7

，
即GP=

12

7

，CG=

12 2

7

，
∴OG=CG-CO=

12 2

7

-

2

=

5 2

7

，
在Rt△ODG中，DG=

OG2-OD2

=

1

7

．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据直角三角形的内心的性质作辅助线，运用三角形相似及勾股定理解题．