Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2

3

，
（1）求直径AB的长；
（2）阴影部分图形的面积．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）根据垂径定理求得CE=ED=

3

，然后由圆周角定理知∠COE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OC的长度，进而可得出结论；
（2）由圆周角定理知∠COE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OC、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S_阴影=S_扇形OCB-S_△COE+S_△BED．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=

1

2

CD=

3

，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COE=2∠CDB=60°，∠OCE=30°，
∴OE=CE•cot60°=

3

×

3

3

=1，
∴OC=2OE=2；

（2）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=

3

，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COE=2∠CDB=60°，∠OCE=30°，
∴OE=CE•cot60°=

3

×

3

3

=1，OC=2OE=2，
∴S_阴影=S_扇形OCB-S_△COE+S_△BED=

60π×OC2

360

-

1

2

OE×EC+

1

2

BE•ED=

2π

3

-

3

2

+

3

2

=

2π

3

．

点评：本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．