题目内容

如图，在Rt△OAB中，∠B=Rt∠，OB=2AB．线段AB的垂直平分线交反比例函数y= $数学公式$ （x＞0）的图象于点C，D为垂足，过C作CE⊥OB于点E．当四边形CDBE为正方形时，正方形CDBE的面积为________．

$\text{[math]}$
分析：延长EC、DC，分别交x轴与P、F点，作CH⊥x轴于H点，设正方形CDBE的边长为a，根据垂直平分线的性质得AB=2a，则OB=2AB=4a，且可得到DF为△OAB的中位线，所以FD= $\text{[math]}$ OB=2a，则FC=2a-a=a，于是CP为△FDA的中位线，CP= $\text{[math]}$ AD= $\text{[math]}$ a，在Rt△CFP中，根据勾股定理计算出PF= $\text{[math]}$ a，利用面积法计算出CH= $\text{[math]}$ a，在Rt△CFH中，根据勾股定理计算HF= $\text{[math]}$ a，OA=2 $\text{[math]}$ a，所以OF= $\text{[math]}$ OA= $\text{[math]}$ a，则可确定C点坐标为（ $\text{[math]}$ a， $\text{[math]}$ a），然后把C点坐标代入反比例解析式得到a²．
解答：延长EC、DC，分别交x轴与P、F点，作CH⊥x轴于H点，如图，

设正方形CDBE的边长为a，
∵FD垂直平分AB，
∴AB=2a，
∵OB=2AB，
∴OB=4a，
∵DF为△OAB的中位线，
∴FD= $\text{[math]}$ OB=2a，
∴FC=2a-a=a，
∴CP为△FDA的中位线，
∴CP= $\text{[math]}$ AD= $\text{[math]}$ a，
在Rt△CFP中，PF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a，
∴ $\text{[math]}$ CH•PF= $\text{[math]}$ CP•CF，即 $\text{[math]}$ CH• $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ a• $\text{[math]}$ a，
∴CH= $\text{[math]}$ a，
在Rt△CFH中，HF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a，
在Rt△OAB中，OA= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ a，
∴OF= $\text{[math]}$ OA= $\text{[math]}$ a，
∴OH=OF+FH= $\text{[math]}$ a，
∴C点坐标为（ $\text{[math]}$ a， $\text{[math]}$ a），
把C（ $\text{[math]}$ a， $\text{[math]}$ a）代入y= $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ a• $\text{[math]}$ a=2，解得a²= $\text{[math]}$ ．
∴正方形CDBE的面积为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质；熟练运用勾股定理进行几何计算．