如图所示.⊙O的直径DF与弦AB交于点E.C为⊙O外一点.CB⊥AB.G是直线CD上一点.∠ADG=∠ABD．求证:AD·CE=DE·DF．说明:(1)如果你经历反复探索.没有找到解决问题的方法.请你把探索过程中的某种思路推导过程写出来在你经历说明(1)的过程之后.可以从下列①.②.③中选取一个补充或更换已知条件.完成你的证明． ①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

(2004　辽宁大连)如图所示，⊙O的直径DF与弦AB交于点E，C为⊙O外一点，CB⊥AB，G是直线CD上一点，∠ADG=∠ABD．

求证：AD·CE=DE·DF．

说明：(1)如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路推导过程写出来(要求至少写3步)．(2)在你经历说明(1)的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．

①∠CDB=∠CEB．

②AD∥EC．

③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°，

答案：略
解析：

证明　如图1所示，连接AF，则∠ABD=∠F．

∵∠ADG==∠ABD，∴∠ADG==∠F．

∵DF为⊙O的直径，∴∠DAF=90=90°，

∴∠ADF＋∠F=90=90°，

∴∠ADG＋∠ADF==∠FDG=90=90°．

∴∠DAF==∠CDE=90=90°．

∵CB⊥AB，∴∠CBE=90=90°．

取EC中点M，连接DM，BM，则DM=BM=CM=EM，即D、E、B、C在以EC为直径的圆上．

则在圆M中，∠ABD和∠DCE都是弦DE所对的圆周角，∴∠ABD==∠DCE，

则∠DCE==∠F．

△DAF∽△EDC，

∴，∴AD·CE=DE·DF．

(一)没有直接解答问题写出探究过程．

思路1　如图1所示，连接AF．

∵DF为⊙O的直径，∴∠DAF=90=90°．

∴∠ADF＋∠F=90=90°．

∴∠ADG==∠ABD，∠ABD==∠F，∴∠ADG==∠F．

∴∠ADF＋∠ADC=90=90°，∴DF⊥CG．

思路2　如图1，连接AF．

∵DF为⊙O的直径，∴∠DAF=90=90°．

∴∠ADF＋∠F=90=90°．

∵CB⊥AB，∴∠CBD＋∠ABD=90=90°．

∵∠ABD==∠F，∴∠ADF==∠CBD．

思路3　如图2所示，连接BF．

∵DF为⊙O的直径，∴∠DBF=90=90°，

∴∠ABD＋∠ABF=90=90°．

∵∠ADG==∠ABD，∠ADF==∠ABF，

∴∠ADG＋∠ADF=90=90°，即∠GDF=90=90°．

∴CG切⊙O于D．

思路4　如图3所示，连接AF．

要证AD·CE=DE·DF，需证，

需证△DAF∽△EDC，

需证∠F==∠DCE，∠ADE==∠DEC．

要证∠ADE==∠DEC，需证AD∥CE．

要证∠F==∠DCE，需证∠DCE==∠DBA．

(二)选取①．如图3所示，连接AF，则∠ABD==∠F．

∵∠ADG==∠ABD，∴∠ADG==∠F．

∵DF为⊙O的直径，∴∠DAF=90=90°，

∴∠ADF＋∠F=90=90°，

∴∠ADG＋∠ADF==∠FDG=90=90°，

∴∠DAF==∠CDE=90=90°，∴CD是⊙O的切线．

∴∠BAD==∠BDC．

∵∠BDC==∠CEB，∴∠BAD==∠CEB．

∴AD∥EC，∴∠ADF==∠DEC，

∴△DAF∽△EDC，∴，

∴AD·CE=DE·DF．

(三)选取②．如图4所示，连接AF，BF．

∵∠ADG==∠DBA，∠ADF==∠ABF，

∴∠ADG＋∠ADF==∠DBA＋∠ABF，

即∠GDF==∠DBF．

∵DF是⊙O的直径，∴∠DBF==∠DAF=90=90°，

∴∠GDF=90=90°，∴∠DAF==∠EDC=90=90°．

∵AD∥CE，∴∠ADE==∠DEC，

∴△ADF∽△DEC，∴，

∴AD·CE=DE·DF．

(四)选取③．

证明：如图4所示，∵DF是⊙O的直径，

∴∠DAF=90=90°．

∵∠CDE=90=90°，∴∠DAF==∠CDE．

又∵∠ADF==∠DEC，∴△ADF∽△DEC．

∴，∴AD·CE=DE·DF．

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