Question

如图，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已知PA=5，PB=3，PC=

15 2

7

，设∠APC=α，求角α的大小．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理,解直角三角形

专题：计算题

分析：根据圆周角定理的推论得到∠APB=90°，再根据勾股定理计算出AB=4，BC=

3

7

，则AC=

25

7

，再证明Rt△CDA∽Rt△PBA，利用相似比计算出CD=

15

7

，AD=

20

7

，所以PD=PA-AD=

15

7

=CD，则可判断△PCD为等腰直角三角形，于是得到α=45°．

解答：解：作CD⊥PA于D，如图，
∵PA为直径，
∴∠APB=90°，
在Rt△PAB中，PA=5，PB=3，
∴AB=

PA2-PB2

=4，
在Rt△PBC中，PC=

15 2

7

，PB=3，
∴BC=

PC2-PB2

=

3

7

，
∴AC=AB-BC=

25

7

，
∵∠CAD=∠PAB，
∴Rt△CDA∽Rt△PBA，
∴

CD

PB

=

AD

AB

=

AC

AP

，即

CD

3

=

AD

4

=

25 7

5

，
∴CD=

15

7

，AD=

20

7

，
∴PD=PA-AD=

15

7

，
∴PD=CD，
∴△PCD为等腰直角三角形，
∴α=45°．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．