题目内容

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与一次函数y=
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x+m经过点A（0，3），且抛物线的顶点坐标为C（1，4），过A点做x轴的平行线交抛物线于D点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接DC，AC，试在抛物线上找出点P，使得7S△ACD=S△PAD；
（3）直线y=
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x+m与对称轴交于B点，试在直线AD上找出一点E，使得E到B点的长度和到直线y=
3
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x+m的距离之和最短．
考点：二次函数综合题
专题：探究型
分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，3），且抛物线的顶点坐标为C（1，4）列出关于a、b、c的方程组，求出a、b、c的值即可得出抛物线的解析式；
（2）先根据抛物线的顶点坐标为（1，4），故可得出D点坐标，由于抛物线的顶点坐标为（1，4），所以P点必在x轴的下方，设P点坐标为（x，-x2+2x+3），则-x2+2x+3＜0，再根据7S△ACD=S△PAD求出x的值即可；
（3）把点A（0，3）代入直线y=
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x+m求出m的值，故可得出直线的解析式，作点B关于x轴的对称点B′，过点B′作直线y=
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x+m的垂线交直线AD于点E，根据互相垂直的两条直线斜率的积等于1求出直线B′E的解析式，故可得出E点坐标．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，3），且抛物线的顶点坐标为C（1，4），
解得
a=-1
b=2
c=3
，
∴此抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；

（2）如图1，
∵A（0，3），C（1，4），AD∥x轴，
∴D（2，3），
∴CF=1，
设P（x，-x2+2x+3），
∵点C是抛物线的顶点坐标，
∴点P必在x轴下方，
∵△ACD与△PAD同底，7S△ACD=S△PAD，
∴-（-x2+2x+3）=7-3=4，解得x=1±2
2
，
∴P（1+2
2
，-4）或（1-2
2
，-4）；

（3）∵点A（0，3）在直线y=
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x+m上，
∴m=3，
∴直线y=
3
3
x+m的解析式为y=
3
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x+3，
∵C（1，4），
∴直线CF的解析式为x=1，
∴B（1，
3
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+3），
如图2，作点B关于AD的对称点B′，过点B′作直线y=
3
3
x+m的垂线交直线AD于点E，则E点即为所求，
∵直线B′E⊥AB，
∴设直线B′E的解析式为y=-
3
x+b，
∵点B与点B′关于直线AD对称，AD∥x轴，AD的解析式为y=3，
∴B′（1，3-
3
3
），
∴3-
3
3
=-
3
+b，解得b=3+
2
3
3
，
∴直线B′E的解析式为y=-
3
x+3+
2
3
3
，
∴当y=3时，x=
2
3
，
∴E（
2
3
，3）．
点评：本题考查的是二次函数综合题，熟知用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式是解答此题的关键．
练习册系列答案
相关题目
有下列说法：
（1）垂直于同一直线的两条直线互相垂直；
（2）过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；
（3）过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；
（4）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（5）三角形的外角大于它的任何一个内角．
 其中真命题的个数是（　　）
A、1B、2C、3D、4
如图直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（　　）
A、115°B、135°
C、120°D、都不对
如图是人头像的一半，以图中虚线为对称轴画出它的另一半．
如图，在平面直角坐标系中，若△BAC与△A1B1C1关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是（　　）
A、（2，-1）
B、（3，-1）
C、（4，-1）
D、（3，-2）
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式和C点坐标；
（2）设该抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在该抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．
如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）．
（1）求此函数的解析式和对称轴；
（2）试探索抛物线的对称轴上存在几个点P，使三角形PAB是直角三角形，并求出点P的坐标．
分解因式2x3-12x2+18x=
 
．
如图，△ABC中，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF．
（1）证明：△BDE≌△CDF；
（2）给△ABC添加一个条件
 
，使AD平分∠BAC．
（直接填写添加的条件，不需要证明．）

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