Question

【题目】探究：如图①，直线l1∥l2∥l3，点C在l2上，以点C为直角顶点作∠ACB＝90°，角的两边分别交l1与l3于点A、B，连结AB，过点C作CD⊥l1于点D，延长DC交l3于点E．

（1）求证：△ACD∽△CBE．

（2）应用：如图②，在图①的基础上，设AB与l2的交点为F，若AC＝BC，l1与l2之间的距离为2，l2与l3之间的距离为1，则AF的长度是　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据已知条件得到∠ADC=∠CEB=90°，于是得到∠ACD+∠DAC=90°，由于∠ACB=90°，于是得到∠ACD+∠ECB=90°，根据余角的性质得到∠DAC=∠ECB，即可得到结论；
（2）通过△ACD≌△BCE，得到AD=CE=1，CD=BE=2，根据勾股定理得到AC=BC=，AB=，然后根据平行线分线段成比例即可得到结论．

（1）∵l1∥l3，CD⊥l1，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
∴△ACD∽△CBE；
（2）在△ACD与△CBE中，

，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=CE=1，CD=BE=2，
∵∠ADC=CEB=90°，
∴AC=BC=，
∵∠ACB=90°，
∴AB=，
∵l1∥l2∥l3，
∴ ，
∴AF=．
故答案为：．