Question

20．若关于x的方程（2m-1）x²-2$\sqrt{m}$x+1=0有两个不相等实数根．
（1）求m范围；
（2）如果$\sqrt{m}$+$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$=13，求$\sqrt{m}$-$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义、二次根式的意义和判别式的意义得到2m-1≠0，m≥0且△=4m-4（2m-1）×1＞0，然后解不等式即可；
（2）根据完全平方公式得出m+$\frac{1}{m}$=（$\sqrt{m}$+$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$）²-2=167，（$\sqrt{m}$-$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$）²=m+$\frac{1}{m}$-2=165．由（1）求出的m的范围得出$\sqrt{m}$＜$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$，从而得到$\sqrt{m}$-$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$的值．

解答 解：（1）根据题意得2m-1≠0，m≥0且△=4m-4（2m-1）×1＞0，
解得0≤m＜1且m≠$\frac{1}{2}$；

（2）∵$\sqrt{m}$+$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$=13，
∴m+$\frac{1}{m}$=（$\sqrt{m}$+$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$）²-2=167．
∴（$\sqrt{m}$-$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$）²=m+$\frac{1}{m}$-2=165．
∵0≤m＜1且m≠$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{m}$＜$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$，
∴$\sqrt{m}$-$\frac{1}{{\sqrt{m}}}$=-$\sqrt{165}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义、二次根式的意义以及完全平方公式．