Question

若关于x的三个方程x²+4mx+4m²+2m+3=0，x²+（2m+1）x+m²=0，（m-1）x²+2mx+m-1=0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：计算题,转化思想

分析：先设关于x的三个方程都没有实根，得到△₁=16m²-4（4m²+2m+3）＜0，解得m＞-

3

2

；△₂=（2m+1）²-4m²=4m+1＜0，解得m＜-

1

4

；△₃=4m²-4（m-1）²=8m+4＜0，解得m＜

1

2

．这样就有当-

3

2

＜m＜-

1

4

时，关于x的三个方程都没有实根．在实数范围内，当m不在这个范围内取值时，关于x的三个方程至少有一个有实根，于是得到题目要求的m的范围：m≤-

3

2

或m≥-

1

4

．

解答：解：设关于x的三个方程都没有实根．
对于方程x²+4mx+4m²+2m+3=0，则有△₁＜0，即△₁=16m²-4（4m²+2m+3）＜0，解得m＞-

3

2

；
对于方程x²+（2m+1）x+m²=0，则有△₂＜0，即△₂=（2m+1）²-4m²=4m+1＜0，解得m＜-

1

4

；
对于方程（m-1）x²+2mx+m-1=0，当m=1时，方程变为2x=0，方程有解，
所以m≠1，则有△₃＜0，
即△₃=4m²-4（m-1）²=8m+4＜0，解得m＜

1

2

．
综合所得：当-

3

2

＜m＜-

1

4

，且m≠1时，关于x的三个方程都没有实根．
所以若关于x的三个方程x²+4mx+4m²+2m+3=0，x²+（2m+1）x+m²=0，（m-1）x²+2mx+m-1=0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是 m≤-

3

2

或m≥-

1

4

．
故答案为：m≤-

3

2

或m≥-

1

4

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了不等式组的解以及从所求问题的反面出发进行突破的解题方法．