题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=
（x-m）2-
m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标；
（2）求DE的长？
（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】分析：（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；
（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；
（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=-
m2+m+4，将m=
代入y=-
m2+m+4，即可求出二次函数的表达式；
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．
解答：解：（1）当m=2时，y=
（x-2）2+1，
把x=0代入y=
（x-2）2+1，得：y=2，
∴点B的坐标为（0，2）．
（2）延长EA，交y轴于点F，
∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
∴△AFC≌△AED，
∴AF=AE，
∵点A（m，-
m2+m），点B（0，m），
∴AF=AE=|m|，BF=m-（-
m2+m）=
m2，
∵∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴
=
，即：
=
，
∴DE=4．
（3）①∵点A的坐标为（m，-
m2+m），
∴点D的坐标为（2m，-
m2+m+4），
∴x=2m，y=-
m2+m+4，
∴y=-
•
+
+4，
∴所求函数的解析式为：y=-
x2+
x+4，
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，
（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），
点P的横坐标为3m，
点P的纵坐标为：（-
m2+m+4）-（
m2）=-
m2+m+4，
把P（3m，-
m2+m+4）的坐标代入y=-
x2+
x+4得：
-
m2+m+4=-
×（3m）2+
×（3m）+4，
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．
（Ⅱ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2），
点P的横坐标为m，
点P的纵坐标为：（-
m2+m+4）+（
m2）=m+4，
把P（m，m+4）的坐标代入y=-
x2+
x+4得：
m+4=-
m2+
m+4，
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=-8，
综上所述：m的值为8或-8．
点评：本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论．
（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；
（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=-
m2+m+4，将m=
代入y=-
m2+m+4，即可求出二次函数的表达式；②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．
解答：解：（1）当m=2时，y=
（x-2）2+1，把x=0代入y=
（x-2）2+1，得：y=2，∴点B的坐标为（0，2）．
（2）延长EA，交y轴于点F，
∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
∴△AFC≌△AED，
∴AF=AE，
∵点A（m，-
m2+m），点B（0，m），∴AF=AE=|m|，BF=m-（-
m2+m）=
m2，∵∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴
=
，即：
=
，∴DE=4．
（3）①∵点A的坐标为（m，-
m2+m），∴点D的坐标为（2m，-
m2+m+4），∴x=2m，y=-
m2+m+4，∴y=-
•
+
+4，∴所求函数的解析式为：y=-
x2+
x+4，②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，
（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），
点P的横坐标为3m，
点P的纵坐标为：（-
m2+m+4）-（
m2）=-
m2+m+4，把P（3m，-
m2+m+4）的坐标代入y=-
x2+
x+4得：-
m2+m+4=-
×（3m）2+
×（3m）+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．
（Ⅱ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2），
点P的横坐标为m，
点P的纵坐标为：（-
m2+m+4）+（
m2）=m+4，把P（m，m+4）的坐标代入y=-
x2+
x+4得：m+4=-
m2+
m+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=-8，
综上所述：m的值为8或-8．
点评：本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论．
练习册系列答案
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