Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE．
（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=6，AE=6

2

，求△DBE外接圆的半径及CE的长．

Answer 1

分析：（1）取BD的中点O，连接OE，证明∠OEB=∠CBE后可得OE⊥AC；
（2）设⊙O的半径为r，则在Rt△AOE中，利用勾股定理列出有关半径的方程求得半径即可，在直角三角形AEO中利用面积相等的方法求得线段EF的长后即可求得CE的长．

解答：解：（1）直线AC与△DBE外接圆相切．理由：
∵DE⊥BE
∴BD为△DBE外接圆的直径
取BD的中点O（即△DBE外接圆的圆心），连接OE
∴OE=OB
∴∠OEB=∠OBE
∵BE平分∠ABC
∴∠OBE=∠CBE
∴∠OEB=∠CBE
∵∠CBE+∠CEB=90°
∴∠OEB+∠CEB=90°
即OE⊥AC
∴直线AC与△DBE外接圆相切；

（2）设⊙O的半径为r，则在Rt△AOE中，AD=6，AO=r+6，AE=6

2

，
OA²=OE²+AE²，
即：（r+6）²=r²+（6

2

）²，
解得：r=3
则△BDE的外接圆的半径为3．
过点E作EF⊥AB于F，
∵BE平分∠ABC，∠C=90°
∴EF=EC
在Rt△AOE中，AO=6+3=9，

1

2

AE•EO=

1

2

AO•EF
EF=

EA×EO

AO

=

6 2 ×3

9

=2

2

∴CE=EF=2

2

∴外接圆的半径为3，CE的长为2

2

．

点评：本题考查了切线的判定及勾股定理，在判定切线时通常先连接圆心和切点，然后证明垂直即可．