Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，E为CD上一点，且AE=AB，M为AE的中点．下列结论：①DM=DA；②EB平分∠AEC；③S_△ABE=S_△ADE；④=8-4．

正确的个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：求出∠ADC=90°，BC=AD，推出AE=2AD，DM=AM=ME=AE，推出DM=DA，即可判断①；根据矩形性质得出DC∥BA，推出∠CEB=∠ABE，∠AEB=∠ABE，推出∠AEB=∠CEB即可判断②；根据三角形面积公式得出S_△ADE=×DE×AD，S_△ABE=×AB×BC，即可判断③；设AD=BC=a，求出AE=2AD=2a=AB=DC，DE=a，EC=（2-）a，在Rt△BEC中，由勾股定理求出BE²=（8-4）a²，代入即可求出④．
解答：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，BC=AD，
∵AE=AB，AB=2BC，
∴AE=2AD，
∵∠ADC=90°，M为AE中点，
∴DM=AM=ME=AE，
∴DM=DA，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥BA，
∴∠CEB=∠ABE，
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE，
∴∠AEB=∠CEB，
即BE平分∠AEC，∴②正确；
∵S_△ADE=×DE×AD，S_△ABE=×AB×BC，
又∵AD=BC，BC=AD＞DE，
∴S_△ADE≠S_△ABE，∴③错误；
设AD=BC=a，则AE=2AD=2a=AB=DC，
由勾股定理得：DE=a，
则EC=（2-）a，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE²=CE²+BC²=（8-4）a²，
即==8-4，∴④正确；
故选C．
点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形性质，直角三角形斜边上中线等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力．