题目内容

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-
4
3
x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，OD=
1
4
OB，AC=
1
4
AB，过点C作CE⊥OA于点E，点M从点C出发，沿CD方向运动，过点M作MN⊥OA于点N，过点N作NP∥AB，交OB于点P，当点N与点O重合时点M停止运动．设AN=a．
（1）求点C的坐标；
（2）用含a的代数式表示NP；
（3）是否存在点M，使△MNP为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的a的值；若不存在，请说明理由．
（1）∵一次函数y=-
4
3
x+8的图象与x轴，y轴交于A、B两点，
∴点A的坐标为：（6，0），点B的坐标为：（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=
OA2+OB2
=10，
∴OD=
1
4
OB=2，AC=
1
4
AB=
5
2
，
∴OD：OB=AC：AB=1：4，
∴CD∥OA，
∵CE⊥OA，MN⊥OA，OA⊥OB，
∴四边形ODCE与四边形ODMN是矩形，
∴MN=CE=OD=2，DM=ON，
∴AE=
AC2-CE2
=
3
2
，
∴OE=OA-AE=6-
3
2
=
9
2
，
∴点C的坐标为：（
9
2
，2）；

（2）∵NP∥AB，
∴
ON
OA
=
NP
AB
，
∵AN=a，
∴ON=OA-AN=6-a，
∴
NP
10
=
6-a
6
，
解得：NP=
30-5a
3
；

（3）存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，理由如下：
过点D作DQ∥AB交OA于Q，则
OQ
OA
=
OD
OB
，即
OQ
6
=
2
8
，
解得OQ=1.5，
∴AQ=OA-OQ=6-1.5=4.5．
∴当a=4.5时，点P与点D重合，此时△MNP不是等腰三角形．
分两种情况讨论：
①当0≤a＜4.5，即点P在点D上方时，如右图．
∵NP∥AB，
∴
ON
OA
=
OP
OB
，
∴
OP
8
=
6-a
6
，
解得：OP=
24-4a
3
，
∴PD=OP-OD=
18-4a
3
，
∴PM2=PD2+DM2=（
18-4a
3
）2+（6-a）2=
25a2-252a+648
9
．
由于PN＞MN，所以当△MNP为等腰三角形时，可能有两种情况：
当PM=MN时，
25a2-252a+648
9
=4，解得a1=4.08，a2=6（不合题意，舍去）；
当PM=PN时，
25a2-252a+648
9
=（
30-5a
3
）2，解得a=5.25（不合题意，舍去）；
②当4.5＜a＜6，即点P在点D下方时，如右图．
∵NP∥AB，
∴
ON
OA
=
OP
OB
，
∴
OP
8
=
6-a
6
，
解得：OP=
24-4a
3
，
∴PD=OD-OP=
4a-18
3
，
∴PM2=PD2+DM2=（
4a-18
3
）2+（6-a）2=
25a2-252a+648
9
．
当△MNP为等腰三角形时，可能有三种情况：
当PM=MN时，
25a2-252a+648
9
=4，解得a1=4.08，a2=6（均不合题意，舍去）；
当PM=PN时，
25a2-252a+648
9
=（
30-5a
3
）2，解得a=5.25；
当PN=MN时，
30-5a
3
=2，解得a=4.8．
综上可知，存在点M，能够使△MNP为等腰三角形，此时满足要求的a的值为4.08或4.8或5.25．
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（1）求点D的坐标；
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