Question

【题目】在△ABC中，∠ABC=90°，已知AB=3，BC=4，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交直线AB于点P，当△PQB为等腰三角形时，线段AP的长为　 　．

Answer 1

【答案】或6．

【解析】试题解析：(2)在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5.

∵∠QPB为钝角，

∴当△PQB为等腰三角形时，

(I)当点P在线段AB上时，如题图1所示：

∵∠QPB为钝角，

∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ，

由(1)可知,△AQP∽△ABC，

∴ 即 解得：

∴

(II)当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示：

∵∠QBP为钝角，

∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ.

∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，

∵

∴∠AQB=∠A，

∴BQ=AB，

∴AB=BP，点B为线段AP中点，

∴AP=2AB=2×3=6.

综上所述,当△PQB为等腰三角形时,AP的长为或6.

故答案为： 或6.