Question

已知一元二次方程x²+（k+1）x-k²=0的两个根x₁和x₂满足

x

2 1

+

x

2 2

=9，则k=

4

3

或-2

．

Answer 1

分析：由一元二次方程x²+（k+1）x-k²=0的两个根x₁和x₂，并且有△=（k-1）²+4k²＞0，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-（k+1），x₁•x₂=-k²，再变形

x

2 1

+

x

2 2

=9，得（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=9，然后把x₁+x₂=-（k+1），x₁•x₂=-k²代入得到关于k的一元二次方程3k²+2k-8=0，利用因式分解法解方程即可得到k的值．

解答：解：∵一元二次方程x²+（k+1）x-k²=0的两个根x₁和x₂，
∴△=（k+1）²+4k²＞0，x₁+x₂=-（k+1），x₁•x₂=-k²，
而

x

2 1

+

x

2 2

=9，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=9，
∴（k+1）²-2（-k²）=9，即3k²+2k-8=0，（3k-4）（k+2）=0，解得k₁=

4

3

，k₂=-2，
∴k的值为

4

3

或-2．
故答案为

4

3

或-2．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式以及一元二次方程的解法．