Question

1．如图，直线y=$\frac{4}{3}$x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，动点Q在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从点A向终点B运动，过点Q作AB的垂线交x轴于点P，设点Q的运动时间为t秒．
（1）求证：△AQP∽△AOB；
（2）是否存在t值，使△POQ为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据PQ⊥AB可得出∠AQP=90°，再由∠AOB=90°即可得出结论；
（2）先求出A、B两点的坐标，再分QP=OP，OQ=QP，OP=OQ三种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵PQ⊥AB，
∴∠AQP=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AQP=∠AOB=90°．
∵∠QAP为公共角，
∴△AQP∽△AOB；

（2）∵直线y=$\frac{4}{3}$x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=5，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵△AQP∽△AOB，
∴$\frac{AQ}{OA}$=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{QP}{OB}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{AP}{5}$=$\frac{QP}{4}$，
∴AP=$\frac{5t}{3}$，QP=$\frac{4t}{3}$，
当QP=OP时，$\frac{4t}{3}$=3-$\frac{5t}{3}$，解得t=1；
∵点Q在直线y=$\frac{4}{3}$x+4上，AQ=t，
∴Q（3-$\frac{3t}{5}$，$\frac{4t}{5}$），
∴OQ=$\sqrt{（3-\frac{3t}{5}）^{2}+（\frac{4t}{5}）^{2}}$，
∴当OQ=QP时，$\sqrt{{（3-\frac{3t}{5}）}^{2}+{（\frac{4t}{5}）}^{2}}$=$\frac{4t}{3}$，解得t₁=$\frac{9}{5}$（舍去），t₂=-$\frac{45}{7}$（舍去）；
当OQ=OP时，$\sqrt{{（3-\frac{3t}{5}）}^{2}+{（\frac{4t}{5}）}^{2}}$=3-$\frac{5t}{3}$，解得t₃=$\frac{18}{5}$．
综上所述，t的值为1或$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、等腰三角形的判定与性质等知识，解答此题时要注意进行分类讨论．