题目内容

精英家教网如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（0，3），C（-1，0），将矩形OABC绕原点顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点C、M、N．解答下列问题：
（1）分别求出直线BB′和抛物线所表示的函数解析式；
（2）将△MON沿直线MN翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在抛物线上，说明理由；
（3）将抛物线进行平移（沿上下或左右方向），使它经过点C′，求此时抛物线的解析式．
分析：（1）由题意可知B，B′的坐标，可用待定系数法求得一次函数的解析式．由一次函数解析式可得到M，N两点的坐标，代入二次函数即可求得二次函数的解析式；
（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，由对称的性质可得出OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，再由勾股定理求出MN的长，由三角形的面积公式得出OE的长，利用两点间的距离公式求出x、y的值，把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可；
（3）可上下平移，横坐标等于C′的横坐标，左右平移，纵坐标等于C′的纵坐标．
解答：解：（1）由题意得，B（-1，3），B'（3，1），
∴直线BB′的解析式为y=-
1
2
x+
5
2
，
直线BB′与x轴的交点为M（5，0），与y轴的交点N（0，
5
2
），
设抛物线的解析式为y=a（x-5）（x+1），
∵抛物线过点N，
∴
5
2
=a×(-5)×1，
∴a=-
1
2
，
∴抛物线的解析式为精英家教网y=-
1
2
(x-5)(x+1)=-
1
2
x2+2x+
5
2
；

（2）设P点坐标为（x，y），连接OP，PM，OP交NM于E，
∵O、P关于直线MN对称，
∴OP⊥MN，OE=PE，PM=OM=5，
∵N（0，
5
2
），M（5，0），
∴MN=
ON2+OM2
=
(
5
2
)2+52
=
5
5
2
，OE=
ON×OM
MN
=
5
2
×5
5
5
2
=
5
，
∴OP=2OE=2
5
，
∴OP=
x2+y2
=2
5
①，
PM=
(5-x)2+y2
=5②，
①②联立，解得
x=2
y=4
，
把x=2代入二次函数的解析式y=-
1
2
x2+2x+
5
2
得，y=
9
2
，
∴点P不在此二次函数的图象上；

（3）若抛物线上下平移经过点C'，此时解析式为y=-
1
2
x2+2x+1，
当y=1时，1=-
1
2
x2+2x+
5
2
，
∴x=2±
7
，y=-
1
2
x2+2x+
5
2
=-
1
2
(x-2)2+
9
2
，
若抛物线向左平移经过点C'，平移距离为2+
7
，
此时解析式为y=-
1
2
(x-2+2+
7
)2+
9
2
=-
1
2
x2-
7
x+1，
若抛物线向右平移经过点C'，
此时解析式为y=-
1
2
(x-2-
7
+2)2+
9
2
=-
1
2
x2+
7
x+1．
点评：一般用待定系数法来求函数解析式；抓住坐标系里点的平移的特点：图象左右平移，只改变横坐标；图象上下平移，只改变纵坐标．
练习册系列答案
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（1）求点B的坐标；
（2）当∠CPD=∠OAB，且
BD
AB
=
5
8
，求这时点P的坐标．
（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
5
29
5
29
．
如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
5
5
．
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k
x
图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数y=
k
x
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