Question

正方形ABCD中，P为AB边上任一点，AE⊥DP于E，点F在DP的延长线上，且DE=EF，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC．
（1）求证：△AEG是等腰直角三角形；
（2）求证：AG+CG=；
（3）若AB=2，P为AB的中点，求BF的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件可以得出∠F=∠PAE，再由直角三角形的性质两锐角互余及角平分线的性质就可以得出2∠GAP+2∠PAE=90°，从而求出结论；
（2）如图2，作CH⊥DP，交DP于H点，可以得出△ADE≌△DCH根据全等三角形的性质就可以得出△GHC是等腰直角三角形，由其性质就可以得出CG=GH，AG=EG，再根据线段转化就看以得出结论；
（3）如图3，延长DF，CB交于点K，根据正方形的性质可以得出△ADP≌△BKP，再由勾股定理就可以得出F是KG的中点，由三角形的中位线的性质就可以求出结论．
解答：（1）证明：如图1，∵DE=EF，AE⊥DP，
∴AF=AD，
∴∠F=∠ADF，
∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°，
∴∠F=∠PAE，
∵DF平分∠BAF，
∴∠FAG=∠GAP．
∵∠F+∠FAE=90°，
∴∠F+∠PAE+∠FAP=90°
∴2∠GAP+2∠PAE=90°，
即∠GAE=45°，
∴△AGE为等腰直角三角形；

（2）证明：如图2，作CH⊥DP，交DP于H点，
∴∠DHC=90°．
∵AE⊥DP，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠DHC．
∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，
∴∠ADE=∠DCH．
∵在△ADE和△DCH中，
，
∴△ADE≌△DCH（AAS），
∴CH=DE，DH=AE=EG．
∴EH+EG=EH+HD，
即GH=ED，
∴GH=CH．
∴CG=GH．
∵AG=EG，
∴AG=DH，
∴CG+AG=GH+HD，
∴CG+AG=（GH+HD），
即CG+AG=DG；

（3）如图3，延长DF，CB交于点K，
∵P是AB的中点，
∴AP=BP=1．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD，∠DAB=∠ABC=∠ABK=90°．
∵在△ADP和△BKP中
，
∴△ADP≌△BKP（AAS），
∴AD=KB=BC=2．
在Rt△ADP中由勾股定理，得
PD=，
∴AE=PA•AD，
∴AE=，DE=，
∴EG=，DF=，
∴FG=．
在Rt△KCD中，由勾股定理，得
KD=2，
∴KF=，
∴KF=FG，
∵KB=BC，
∴FB∥CG，BF=CG，
∴BF=•CH=AD=．
点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，三角形的中位线的判定及性质的运用，解答时合理运用全等是重点，运用三角形的中位线的性质求解是难点．