Question

【题目】如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为lcm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．

（1）当t为何值时，PQ⊥AC？

（2）设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）t为时，PQ⊥AC；（2）t＝，S有最大值，最大值为．

【解析】

（1）先根据勾股定理求得AB=5，再因为∠ACB＝90°，所以当PQ⊥AC时，PQ∥BC，从而得出，由运动知，BP=t，得出AP=5-t，AQ=t，代入前面比例式建立方程即可得出结论；

（2）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出＝，从而求出AB，再根据＝，，得出PH=3-t，则△AQP的面积为：AQPH=t（3-t），最后进行整理即可得出答案；

（1）∵PQ⊥AC，

∴∠AQP＝∠C＝90°，

∴PQ∥BC，

∴＝，

在Rt△ACB中，AB＝＝＝5，

∴＝，

解得t＝，

∴t为时，PQ⊥AC．

（2）如图，作PH⊥AC于H．

∵PH∥，

∴△APH∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

∴PH＝（5﹣t），

∴S＝AQPH＝t（5﹣t）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴t＝，S有最大值，最大值为．