Question

如图，已知抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．
【小题1】求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
【小题2】设（）是直线上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF．若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
【小题3】在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．

Answer 1

【小题1】令，得，即，解得，，所以．令，得，所以．设直线AB的解析式为，则，解得，所以直线AB的解析式为．
【小题2】当点在直线AB上时，，解得，当点在直线AB上时，，解得．所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，则．
【小题3】当点在直线AB上时，（此时点F也在直线AB上）
，解得． ①当时，直线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D，
此时，，
又，
所以，
从而，

．
因为，所以当时，．      ——2分
②当时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N，
此时，，
又，
所以，
即．
其中当时，．        ——2分
综合①②得，当时，．    ——1分解析:
略