Question

17．已知抛物线y=x²+mx-$\frac{3}{4}$m²（m＞0）与x轴交于A、B两点，设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形，则△ABC的面积为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由△ABC是直角三角形，推出OC²=OA•OB即可解决问题．

解答 解：令y=0，则x²+mx-$\frac{3}{4}$m²=0，解得x=-$\frac{3}{2}$m或$\frac{1}{2}$m，
不妨设点A坐标（-$\frac{3}{2}$m，0），点B坐标为（$\frac{1}{2}$m，0），点C（0，-$\frac{3}{4}$m²），
∵△ABC都是直角三角形，
∴OC²=OA•OB，
∴$\frac{9}{16}$m⁴=$\frac{3}{4}$m²，
∴m=0或m=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵m＞0，
∴m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查抛物线与x轴交点，射影定理等知识，解题的关键是利用射影定理列出方程，学会转化的思想解决问题，属于中考常考题型．