Question

观察以下等式：
①1×2=

1

3

×1×2×3，
②1×2+2×3=

1

3

×2×3×4，
③1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5，
④1×2+2×3+3×4+4×5=

1

3

×4×5×6…
（1）比照上述规律，请你写出第⑤与第⑦个等式；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）

．

Answer 1

分析：第一个式子最后一项是1×2，第二个式子最后一项是2×3，第三个式子最后一项是3×4，…依此类推，所以，第n个式子最后一项是n×（n+1），则第n个式子是1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1），计算的结果是连续三个自然数的乘积的

1

3

，三个自然数为最后n，（n+1），（n+2）由此：
（1）直接写出第⑤与第⑦个等式；
（2）由以上规律写出即可．

解答：解：（1）⑤1×2+2×3+3×4+4×5+5×6=

1

3

×5×6×7；
⑦1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8=

1

3

×7×8×9；

（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）．
故答案为：

1

3

n（n+1）（n+2）．

点评：此题考查算式的运算规律，找出一般算式的表示方式，利用一般规律解决问题即可．