Question

观察以下等式，猜想第n个等式应为

1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）

．
1×2=

1

3

×1×2×3；
1×2+2×3=

1

3

×2×3×4
1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5；
1×2+2×3+3×4+4×5=

1

3

×4×5×6，…
根据以上规律，请你猜测：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）

（n为自然数）

Answer 1

分析：根据规律，从1开始的两个连续自然数的积的和等于最后两个自然数的乘积乘以比最后一个数大1的数然后再乘以

1

3

即可．

解答：解：1×2=

1

3

×1×2×3；
1×2+2×3=

1

3

×2×3×4
1×2+2×3+3×4=

1

3

×3×4×5；
1×2+2×3+3×4+4×5=

1

3

×4×5×6，
…，
第n个等式为：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）．
故答案为：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）；

1

3

n（n+1）（n+2）．

点评：本题是对数字变化规律的考查，观察出等式右边的数的规律是解题的关键．