Question

19．如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CDFE的面积保持不变；
③四边形CDFE不可能为正方形；
④△CDE面积的最大值为8．
其中错误的结论是③．（只填序号）

Answer 1

分析 连结CF，如图，根据等腰直角△ABC的性质得CF=AF=BF，CF⊥AB，∠1=45°，则可根据“SAS”判断△ADF≌△CEF，得到DF=EF，∠3=∠2，由∠3+∠CFD=90°可得∠3+∠2=90°，即∠DFE=90°，所以△DEF为等腰直角三角形，于是可对①进行判断；由于当FD⊥AC时，FE⊥BC，则AD=CE=$\frac{1}{2}$AC，此时四边形CDFE为正方形，于是可对③进行判断；利用S_△ADF=S_△CEF可得四边形CDFE的面积=S_△ACF=$\frac{1}{2}$S_△ABC=16，于是可对②进行判断；由于S_△CDE=S_{四边形CDFE}-S_△DEF=16-S_△DEF，FD的长度的最小值为4，则S_△DEF的最小值值为8，所以△CDE面积的最大值为8，则可对④进行判断，问题得解．

解答 解：连结CF，如图，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠A=45°，
∵F是等腰直角△ABC斜边上的中点，
∴CF=AF=BF，CF⊥AB，∠1=45°，
在△ADF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{∠A=∠1}\\{AF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF=EF，∠3=∠2，
∵∠3+∠CFD=90°，
∴∠3+∠2=90°，即∠DFE=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形，所以①正确；
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△ADF=S_△CEF，
∴四边形CDFE的面积=S_△ACF=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×8×8=16，所以②正确；
当FD⊥AC时，FE⊥BC，则AD=CE=$\frac{1}{2}$AC，此时四边形CDFE为正方形，所以③正确；
∵S_△CDE=S_{四边形CDFE}-S_△DEF=16-S_△DEF，
而当FD⊥AC时，FD的长度最小，此时FD=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴S_△DEF的最小值为$\frac{1}{2}$×4×4=8，
∴△CDE面积的最大值为16-8=8，所以④正确．
故答案为③

点评 本题考查的是和四边形有关的综合性题目，用到的知识点有：正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、熟记各种特殊几何图形的性质是解题的关键．