Question

求出所有的正整数n，使得1²+2²+3²+4²+…+n²-（n+1）²-（n+2）²-（n+3）²-…-（2n-1）²-（2n）²=-10115
（参考公式：1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

）

Answer 1

分析：分别将1²、（n+1）²；2²、（n+2）²；…n²、（2n）²；结合起来，然后运用参考公式即可计算．

解答：解：原式可化为：1²-（n+1）²+2²-（n+2）²+…n²-（2n）²=-10115，
-n（n+2）-n（n+4）-n（n+6）-…-n（3n）=-10115，
-n（n+2+n+4+n+6+…+3n-2+3n）=-10115，
-n³-2n（1+2+3+…+n）=-10115，
-n³-2n（

n(n+1)

2

）=-10115，
2n³+n²=10115
∴n=17．

点评：本题考查了整式的混合运算，难度较大，注意结合后运用平方差公式．