Question

19．某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．
（1）求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场用最低成本购货，获得利润不低于800元，试确定最低进货的成本．

Answer 1

分析 （1）根据销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55，当x=75时，y=45，可以求得一次函数y=kx+b的表达式；
（2）根据题意可以得到利润W与销售单价x之间的关系式，并求得销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元；
（3）根据题意可以得到相应的不等式，从而可以解答本题．

解答 解：（1）由题意可得，
$\left\{\begin{array}{l}{65k+b=55}\\{75k+b=45}\end{array}\right.$，
解得，k=-1，b=120，
即一次函数的表达式为y=-x+120；
（2）由题意可得，
W=（x-60）•（-x+120）
=-x²+180x-7200
=-（x-90）²+900，
∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，
∴60≤x≤60×（1+45%），得60≤x≤87，
∴当x=87时，W取得最大值，此时W=-（87-90）²+900=891，
答：利润W与销售单价x之间的关系式是W=-（x-90）²+900，当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；
（3）当W=800时，得800=-x²+180x-7200，
解得，x₁=80，x₂=100．
∵y=-x²+180x-7200的开口向下，
∴要使该商场获得利润不低于800元，则销售单价为80≤x≤100，
又∵60≤x≤87，
∴销售单价x的范围是80≤x≤87，
∵进货成本是60（-x+120），
∴单价越高，数量越少，购货成本越低，
∴x=87时，进货成本最低，最低成本为60×（-87+120）=1980（元），
答：最低进货的成本是1980元．

点评 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和不等式的性质解答．