Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，1），点B（0，5），过点A作直线l⊥AB，过点B作BD∥l，交x轴于点D，再以点B为圆心，BD长为半径作弧，交直线l于点C（点C位于第四象限），连结BC，CD．

（1）求线段AB的长．

（2）点M是线段BC上一点，且BM＝CA，求DM的长．

（3）点M是线段BC上的动点．

①若点N是线段AC上的动点，且BM＝CN，求DM+DN的最小值．

②若点N是射线AC上的动点，且BM＝CN，求DM+DN的最小值（直接写出答案）．

Answer 1

【答案】（1）AB=5；（2）DM=5；（3）①DM+DN的最小值为．②DM+DN的最小值为．

【解析】

（1）过点A作y轴垂线AE，利用A、B坐标求得AE、BE的长，在Rt△ABE中利用勾股定理即求出AB的长．

（2）由BD∥l得∠DBM＝∠BCA，加上BC＝BD，BM＝CA，用边角边即可证△DBM≌△BCA，进而得DM＝BA＝5．

（3）①由边角边易证△DBM≌△BCN，得DM＝BN，把DM+DN转化为求BN+DN．作点B关于直线l的对称点B'，易得当B'、N、D在同一直线上时，DM+DN＝B'D最小．易证∠B'BD＝90°，BB'＝2AB＝10，只要求得BD或BC的长即能求B'D．用“HL”证Rt△BAC≌Rt△BOD得∠ABC＝∠OBD，转换得∠ABO＝∠ACB，则其正弦值相等．在Rt△ABE中sin∠ABE可求，则在Rt△ABC中利用sin∠ACB的值求出BC的长，进而得BD和B'D的值．

②N在射线AC上运动分两种情况，第一种即①N在线段AC上，最小值为 ．第二种为N在线段AC延长线上，过点B作BF∥DC交直线l于点F，构造平行四边形BDCF，利用边角边证△BMF≌△CND，得MF＝DN，所以当D、M、F在同一直线上时，DM+DN＝DM+MF＝DF最小．过D作直线l垂线DG，易得DG＝AB＝5，AG＝BD＝ ．在Rt△ABC中求AC的长，即求得AF的长进而求FG的长，再用勾股定理即可求DF的长为5．比较两种情况的最小值，更小的值即为答案．

解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，如图1

∴∠AEB＝90°

∵A（﹣3，1），点B（0，5）

∴AE＝3，OE＝1，OB＝5

∴BE＝OB﹣OE＝4

∴AB＝

（2）连接DM，如图1，

∵BD∥直线l

∴∠DBM＝∠BCA

在△DBM与△BCA中

∴△DBM≌△BCA（SAS）

∴DM＝BA＝5

（3）①延长BA到点B'，使AB'＝AB，连接B'D，如图2

∴直线l垂直平分BB'，BB'＝2AB＝10

∵点N为直线l上的动点

∴BN＝B'N

在△DBM与△BCN中

∴△DBM≌△BCN（SAS）

∴DM＝BN

∴DM+DN＝BN+DN＝B'N+DN

∴当点D、N、B'在同一直线上时，DM+DN＝B'N+DN＝B'D最小

∵直线l⊥AB

∴∠BAC＝∠BOD＝90°

在Rt△BAC与Rt△BOD中

∴Rt△BAC≌Rt△BOD（HL）

∴∠ABC＝∠OBD

∴∠ABC﹣∠OBC＝∠OBD﹣∠OBC

即∠ABO＝∠CBD

∴∠ABO＝∠ACB

在Rt△ABE中，sin∠ABO＝

∴在Rt△ABC中，sin∠ACB＝

∴BD＝BC＝ AB＝

∵BD∥直线l

∴∠B'BD＝180°﹣∠BAC＝90°

∴B'D＝

∴DM+DN的最小值为．

②当点N在线段AC上时，由①可知DM+DN最小值为

当点N在线段AC延长线上时，如图3，

过点B作BF∥DC交直线l于点F，连接MF、DF，过点D作DG⊥直线l于点G

∴四边形BDCF是平行四边形

∴BF＝CD，CF＝BD＝ ，∠MBF＝∠BCD＝∠BDC＝∠NCD

在△BMF与△CND中

∴△BMF≌△CND（SAS）

∴MF＝DN

∴DM+DN＝DM+MF

∴当D、M、F在同一直线上时，DM+DN＝DM+MF＝DF最小

∵∠BAG＝∠ABD＝∠AGD＝90°

∴四边形ABDG是矩形

∴AG＝BD＝，DG＝AB＝5

∵Rt△ABC中，AC＝

∴AF＝CF﹣AC＝

∴FG＝AF+AG＝ ＝10

∴DF＝

∵5 ＜

∴当N在射线AC上运动时，DM+DN的最小值为．