Question

如图，直线y=2x与双曲线y=

8

x

交于点A、E，直线AB交双曲线于另一点B（2m，m），连接EB并延长交x轴于点F．
（1）m=

 

；
（2）求直线AB的解析式；
（3）求△BOF的面积；
（4）若点P为第一象限内一点，且以A，B，P，E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出满足条件的点P坐标．

Answer 1

分析：（1）将B点坐标代入双曲线的解析式中，即可求得m的值．
（2）联立直线AB和双曲线的解析式，可求得点A、E的坐标，即可利用待定系数法求得直线AB的解析式．
（3）根据E、B的坐标，易得直线EB的解析式，即可求得点F的坐标；以OF为底、B点纵坐标的绝对值为高即可求得△OBF的面积．
（4）由于点P在第一象限，那么只有一种情况：BE为平行四边形的对角线，易得BE中点的坐标，由于平行四边形的对角线互相平分，BE中点即为AP的中点，可据此求出点P的坐标．

解答：解：（1）将B点坐标代入抛物线的解析式中得：

8

2m

=m，解得m=±2；
由于点B在第一象限，所以m＞0，故m=2．
∴B（4，2）．

（2）联立直线AB和双曲线的解析式得：

y=2x y= 8 x

，解得

x=2 y=4

，

x=-2 y=-4

；
∴A（-2，-4），E（2，4）；
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则有：

4k+b=2 -2k+b=-4

，解得

k=1 b=-2

；
∴直线AB：y=x-2．

（3）∵E（2，4），B（4，2），
∴直线EB：y=-x+6，
∴F（6，0）；
∴S_△BOF=

1

2

OF•|y_B|=

1

2

×6×2=6．

（4）由于点P在第一象限，故只有一种情况：BE为平行四边形的对角线；
取BE的中点M（3，3），由于平行四边形的对角线互相平分，所以M也是AP的中点；
已知A（-2，-4），故P（8，10）．

点评：此题是反比例函数的综合题，涉及到函数图象交点坐标的求法、用待定系数法确定函数解析式的方法、图形面积的求法以及平行四边形的判定等知识，难度适中．