题目内容
11、已知n是正整数，且2n+1与3n+1都是完全平方数．是否存在n，使得5n+3是质数？如果存在，请求出所有n的值；如果不存在，请说明理由．
分析：设2n+1=k2，3n+1=m2，则5n+3转化为关于k、m的代数式的积，根据式子特点，得到5n+3是合数．
解答：解：如果2n+1=k2，3n+1=m2，
则5n+3=4（2n+1）-（3n+1）=4k2-m2=（2k+m）（2k-m）．
因为5n+3＞（3n+1）+2=m2+2＞2m+1，
所以2k-m≠1（否则5n+3=2k+m=2m+1）．
从而5n+3=（2k+m）（2k-m）是合数．
则5n+3=4（2n+1）-（3n+1）=4k2-m2=（2k+m）（2k-m）．
因为5n+3＞（3n+1）+2=m2+2＞2m+1，
所以2k-m≠1（否则5n+3=2k+m=2m+1）．
从而5n+3=（2k+m）（2k-m）是合数．
点评：本题考查了完全平方数的应用，考查了因式分解法求值的应用，考查了分类讨论思想，本题中讨论2k-m与2k+m的值是解题的关键．
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