Question

1．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．
（1）请用直尺和圆规在图①中画一个以AB为边的“好玩三角形”；
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，求证：△ABC是“好玩三角形”．

Answer 1

分析 （1）先作AB的垂直平分线得到AB的中点D，然后以D为端点任意画线段CD=AB，再连结AC、BC，则△ACB满足条件；
（2）取AC的中点D，连结BD，如图②，设AC=2x，则CD=AD=x，利用$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$得到BC=$\sqrt{3}$x，再在Rt△BCD中利用勾股定理计算出BD=2x，则BD=AC，然后根据“好玩三角形”即可得到结论．

解答 （1）解：如图①，△ABC为所作；

（2）证明：取AC的中点D，连结BD，如图②，

设AC=2x，则CD=AD=x，
∵$\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=$\sqrt{3}$x，
在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}x）^{2}+{x}^{2}}$=2x，
∴BD=AC，
∴△ABC是“好玩三角形”．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．