Question

如图1，已知正方形ABCD，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与一重合，当直角的一边与BC相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点时．
（1）证明：BE=DF；
（2）如图2，作∠EAF的平分线交CD于G点，连接EG．证明：BE+DG=EG；
（3）如图3，将图1中的“直角”改为“∠EAF=45°”，当∠EAF的一边与BC的延长线相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点，连接EF．线段BE，DF和EF之间有怎样的数量关系？并加以证明．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，再根据等角的余角相等得∠BAE=∠DAF，则可根据“ASA”证明△ABE≌△ADF，然后根据全等的性质即可得到BE=DF；
（2）由△ABE≌△ADF得AE=AF，再根据角平分线的定义得∠EAG=∠FAG，然后根据“SAS”可判断△AEG≌△FAG，得到GE=GF，由于GF=DG+DF，所以BE+DG=EG；
（3）作AG⊥AF交BC于G点，如图3，与（1）一样可证明△ABG≌△ADF，得到BG=DF，AG=AF；再与（2）一样可证明△AEG≌△AEF得到EF=EG，利用BE=BG+GE，
即可得到BE=DF+EF．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，
∵∠EAF=90°，即∠EAD+∠FAD=90°，
而∠EAD+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中，

∠BAE=∠DAF AB=AD ∠ABE=∠ADF

，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE=DF；
（2）证明：∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
∵∠EAF的平分线交CD于G点，
∴∠EAG=∠FAG，
在△AEG和△FAG中

AE=AF ∠EAG=∠FAG AG=AG

，
∴△AEG≌△FAG（SAS），
∴GE=GF，
∵GF=DG+DF，
而BE=DF，
∴BE+DG=EG；
（3）解：BE=DF+EF．理由如下：
作AG⊥AF交BC于G点，如图3，
与（1）一样可证明△ABG≌△ADF，
∴BG=DF，AG=AF，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=90°-∠EAF=45°，
与（2）一样可证明△AEG≌△AEF，
∴EF=EG，
∵BE=BG+GE，
∴BE=DF+EF．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和三角形全等的判定与性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题．