Question

如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过点E作直线与AF垂直，交AF延长线于点D，交AB延长线于点C．
（1）判断CD是否是⊙O的切线，并说明理由．
（2）若sinC=

1

2

，⊙O的半径为1，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）若要证明CD是⊙O的切线，只需证明CD与半径垂直，故连接OE，证明OE∥AD即可；
（2）在△OCE中，分别利用角C的余弦值和正切值，可得出CE和CD，从而即可得出DE的长．

解答：证明：（1）连接OE，
∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，（3分）
又∵∠DAE=∠OAE，
∴∠OEA=∠DAE，（4分）
∴OE∥AD．（5分）
∴∠ADC=∠OEC．（6分）
∵AD⊥CD，∴∠ADC=90°，
故∠OEC=90°．
∴OE⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（7分）

（2）∵sinC=

1

2

，∴∠C=30°，（8分）
又∵OE=1，∴OC=2，AC=3．（9分）
在Rt△OCE中，tanC=

OE

CE

，即tan30°=

1

CE

=

3

3

，∴CE=

3

．（10分）
在Rt△OCE中，cosC=

CD

AC

，即cos30°=

CD

3

=

3

2

，∴CD=

3

2

3

．（11分）
∴DE=

3

2

3

-

3

=

3

2

．（12分）

点评：本题主要考查了切线的性质和应用，同时也考查了三角函数知识点的应用和平行线的性质，具有一定的综合性，但难度不是太大．