Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠B＝2∠ADE，点C在BA的延长线上．

（Ⅰ）若∠C＝∠DAB，求证：CE是⊙O的切线；

（Ⅱ）若OF＝2，AF＝3，求EF的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）连接OE，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°．∠AOE＝2∠ADE，根据切线的判定定理即可得到结论；

（Ⅱ）连接AE，根据圆周角定理得到∠1＝∠B．根据相似三角形的性质即可得到结论．

（Ⅰ）连接OE，

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°．

∴∠DAB+∠B＝90°，

∵∠ADE和∠AOE都对着，

∴∠AOE＝2∠ADE，

又∵∠B＝2∠ADE，

∴∠AOE＝∠B，

又∵∠C＝∠DAB，

∴∠C+∠AOE＝∠DAB+∠B＝90°．

∴∠CEO＝90°，

∴OE⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（Ⅱ）连接AE，

∵ ＝ ，

∴∠1＝∠B．

由（Ⅰ）知∠AOE＝∠B，

∴∠1＝∠AOE，

又∵∠2＝∠2，

∴△EAF∽△OAE，

∴，

即，

∴EF＝AE，AE2＝3×5＝15，

∴EF＝EA＝．