Question

【题目】如图，在梯形中，，交边于点．

（1）当点与恰好重合时（如图1），求的长；

（2）问：是否可能使、与都相似？若能，请求出此时的长；若不能，请说明理由（如图2）．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）AD =2.

【解析】

（1）由∠DCA=∠CAB，∠ADC=∠ACB，证得△ACD∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得AD的长；

（2）分别从使△ABE、△CDE与△BCE都相似分析，利用相似三角形的性质，即可求得AD的长．

解：（1）当点E与A重合时，∵CD∥AB，

∴∠DCA=∠CAB，且∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ACD∽△ABC，

∴，

∴AC=2，

∴AD=．

（2）若能使△ABE、△CDE与△BCE都相似，

∴∠EBC=∠A=∠D=90°，∠DEC=∠BEC=∠AEB，

∵∠DEC+∠BEC+∠AEB=180，

∴∠DEC=∠BEC=∠AEB=60°.

在Rt△DEC中，tan∠DEC=，

∴DE=.

在Rt△ABE中，tan∠AEB=，

∴EA=，

∴AD=DE+AE=2.