Question

【题目】在直角梯形中，,,分别以边所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系.

（1）求点的坐标；

（2）已知分别为线段上的点，，直线交轴于点，过点E作EG⊥x轴于G，且EG：OG=2．求直线的解析式；

（3）点是（2）中直线上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）； （3）存在，.

【解析】

（1）如图过点B作BH⊥x轴，垂足为点H，则四边形OCBH为矩形，在Rt△ABH中，通过解直角三角形可求出BH的长度，进而可得出点B的坐标；
（2）作轴于点，由平行可知，得到，从而可求得EG的长度得到E点坐标，根据OD的长度可得出点D的坐标，再根据点D、E的坐标利用待定系数法即可求出直线DE的解析式；
（3）分OD为边及OD为对角线两种情况考虑：①当OD，DM为边时，作轴于点，则轴，通过相似和解直角三角形可求出点M的坐标，再根据菱形的性质即可求出点N的坐标（因为另一种情况点N在x轴下方，故可不考虑）；②当OD，OM为边时，延长交轴于点，则轴，设点M的坐标为（a，-a+5），由OM=OD=5，可得出关于x的一元二次方程，解之可得出点M的坐标，再利用菱形的性质可求出点N的坐标；③当OD为对角线时，连结，交于点，则与互相垂直平分，通过函数关系式可求出点M、N的横坐标，进而求出M、N的坐标．综上即可得出结论．

（1）如图，作于点，则易得四边形为矩形，

在中，

∴，

∴点B的坐标为（3，6）.

(2) 如图，作轴于点，则

又

又，D在y轴正半轴，

∴点的坐标为（0，5），设直线的解析式为：

则 解得：

直线的解析式为，

（3）存在，

①如图1，当，四边形为菱形.作轴于点，则轴，

又时 解得

在中，

②如图2，当时，四边形为菱形，延长交轴于点，则轴，

点在直线上

设

在中，

解得：

③如图3，当时，四边形为菱形，连结，交于点，则与互相垂直平分，

综上所述；轴上方的点有三个，分别为

.